Pi π die unendliche
mathematische Konstante


Definition von Pi – 3.141592653589… Ansehen: Pi mit 1 Mio. Stellen hinterm Komma

Pi beschreibt das Verhältnis vom Umfang eines Kreises zum Durchmesser.
Damit ist Pi, die Fläche eines Kreises mit einem Radius von 1.

Edmund Landau sagte: "Pi ist das Doppelte der kleinsten Nullstelle des Kosinus. Diese darf allerdings nicht negativ sein.

Pi ist eine Naturkonstante. Wenn man einen Kreis berechnen will, stößt man zwangsläufig immer wieder auf π. Das spannende an Pi ist ihre irrationalität. Das bedeutet, dass die Konstante unendlich viele Stellen hinter dem Komma hat. Diese wiederholen sich nicht periodisch (wie man auch unten stehend sehen kann). Pi wird sogar transzendent genannt, weil man sie nicht als Wurzeln schreiben kann wie zum Beispiel √2. Deswegen lässt sich Pi auch nicht direkt berechnen. Um die Zahl zu ermitteln wird sie zwischen zwei Zahlen eingeschachtelt.

Pie hat schon die alten Griechen fasziniert und tut es heute immer noch. Ein Franzose hat Pi z.B. auf 2,7 Billionen Stellen hinter dem Komma errechnet. Die Zahl hat eine gewissen Schönheit für viele und wie man sie berechnet möchte ich euch nun erklären:

Pi berechnung

Um zu verstehen was Pi wirklich beschreibt, gibt es auf Wikipedia eine Grafik, die das sehr gut verdeutlicht:

Wenn man einen Kreis "abrollen" würde, dann hätte der Umfang eine Länge von 3,14159... Diese "Länge" ist das Verhältnis vom Umfang zum Durchmesser. Die Zahl Pie ist dadurch reel nicht aber rational.
Jetzt aber Pi mit unendlich vielen Stellen hinterm Komma sehen! Pi mit 1 millionen Stellen hinterm Komma.


Termine die Pi Liebhaber nicht verpassen dürfen:

Offizieller Pi-Day - 14 März 2010

Mehr Infos gibts unter: exploratorium.edu


Berechnung von Pi

Es gibt nicht DIE Formel zur Berechung von Pi. Es gibt lediglich verschiedene Ansätze zur Ermittlung der Zahl Pi.

Berechnung durch Vielecken

Die einfachste Möglichkeit. Archimedes hat es vorgemacht. Man zeichnet in und um den Kreis ein Quadrat

Pi Berechnung durch Vielecken

Für den Flächeninhalt des äußeren Quadrates gilt: (2r)2 = 4r2. Jede Seite hat die 2fache Länge des Radius "r". Der Flächeninhalt des inneren Quadrats lässt sich dann recht einfach mit Hilfe der weißen Diagonale ausrechnen: Diese unterteilt das Viereck in zwei gleichschenklige Dreiecke, deren Flächeninhalt sich mit der Formel A(Dreieck)=1/2*g*h ausrechnen lässt. Dabei ist g die weiße Linie, die 2r lang ist, und h die Höhe von 1r. Damit lässt sich folgendes ausrechnen:


A(Dreieck) = 1/2*g*h = 1/2*2r*r = 1/2*2r^2=r^2
Damit wird es dann Möglich folgendes zu berechnen: A(Inneres Viereck) = 2*A(Dreieck) = 2*r^2=2r^2
Weil der Kreis zwischen den beiden Quadraten liegt, liegt natürlich auch der Flächeninhalt dazwischen. Daraus folgt: 2r^2 < AKreis > 4r^2
Der Mittelwert ergibt demnach: AKreis = 3r^2
Jetzt brauchen wir die Formel für Flächeninhalte von Kreisen. Wir errinern uns: A(Kreis) = π*r^2
Daraus schließen wir: pi ist ungefähr = 3

Wenn man Vielecke mit mehr Ecken nimmt, kommt man immer näher an den Kreis und die Einschachtelung wird immer genauer. Was das Ergebnis nach und nach optimiert. Beim Quadrat ist das natürlich noch sehr einfach. Bei einem 96-Eck , sieht das schon anders aus! Man kann sich aber sicher sein, dass es auch Möglich ist, denn Archimedes hat es so gemacht!
Auf activevb wird auch die Möglichkeit vorgestellt wie man es mit Visual Basic nachbauen kann.

' Erstellt Pi aufgrund des Archimedes-Verfahren
' mit einem 2 ^ 26 Eck.
Private Function Pi() As Double
    Dim a       As Double
    Dim b       As Double
    
    a = 2 * Sqr(3)
    b = 3
    
    Do Until a = b
        a = 2 * a * b / (a + b)
        b = Sqr(a * b)
    Loop
    
    Pi = a
    
End Function

Berechnung von Pi mit unendlich vielen Nachkommastellen

Dadruch, dass man mit Doubles arbeitet, sind die Stellen nach dem Komma begrenzt. Wenn man die Zahl einfach nur faszinierend findet, so wie ich, dann möchte man selbstverständlich mehr Nachkommestellen haben. Unten seht ihr z.b. Pie mit 1 millionen Nachkommastellen. Damit ihr da hin und noch viel viel weiter rechnen könnt, müsst ihr Funktion teilen und als String weiterverwenden. Mit Visual Basic würde das ungefähr so funktionieren: pie  mit unendlich vielen Nachkommastellen


Die Formel ist eine Mischung aus Formeln von Leonhard Euler und James Gregory. Diese Funktion habe ich auf activevb gefunden und bin erstaunt von ihrer Geschwindigkeit. Damit man diese Formel richtig versteht, sollte man sich die Beispielprojekte von Activeweb mal anschauen. Sehr gut ausgearbeitet und gut dokumentiert.

Jetzt kommen wir aber mal zu dem "ausgeschriebenen" Pi. Wenn Sie noch mehr Nachkommastellen sehen möchten, dann können Sie sich hier ein PDF mit 10 millionen Stellen hinterm Komma runterladen. Supercomputer schaffen allerdings noch sehr viel mehr Stellen. Wie gesagt, Pi ist unendlich!

Pi mit 1 millionen Stellen hinter dem Komma.

3 . 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 4 1 9 7 1 6 9 3 9 9 3 7 5 1 0 5 8 2 0 9 7 4 9 4 4 5 9 2 3 0 7 8 1 6 4 0 6 2 8 6 2 0 8 9 9 8 6 2 8 0 3 4 8 2 5 3 4 2 1 1 7 0 6 7 9 8 2 1 4 8 0 8 6 5 1 3 2 8 2 3 0 6 6 4 7 0 9 3 8 4 4 6 0 9 5 5 0 5 8 2 2 3 1 7 2 5 3 5 9 4 0 8 1 2 8 4 8 1 1 1 7 4 5 0 2 8 4 1 0 2 7 0 1 9 3 8 5 2 1 1 0 5 5 5 9 6 4 4 6 2 2 9 4 8 9 5 4 9 3 0 3 8 1 9 6 4 4 2 8 8 1 0 9 7 5 6 6 5 9 3 3 4 4 6 1 2 8 4 7 5 6 4 8 2 3 3 7 8 6 7 8 3 1 6 5 2 7 1 2 0 1 9 0 9 1 4 5 6 4 8 5 6 6 9 2 3 4 6 0 3 4 8 6 1 0 4 5 4 3 2 6 6 4 8 2 1 3 3 9 3 6 0 7 2 6 0 2 4 9 1 4 1 2 7 3 7 2 4 5 8 7 0 0 6 6 0 6 3 1 5 5 8 8 1 7 4 8 8 1 5 2 0 9 2 0 9 6 2 8 2 9 2 5 4 0 9 1 7 1 5 3 6 4 3 6 7 8 9 2 5 9 0 3 6 0 0 1 1 3 3 0 5 3 0 5 4 8 8 2 0 4 6 6 5 2 1 3 8 4 1 4 6 9 5 1 9 4 1 5 1 1 6 0 9 4 3 3 0 5 7 2 7 0 3 6 5 7 5 9 5 9 1 9 5 3 0 9 2 1 8 6 1 1 7 3 8 1 9 3 2 6 1 1 7 9 3 1 0 5 1 1 8 5 4 8 0 7 4 4 6 2 3 7 9 9 6 2 7 4 9 5 6 7 3 5 1 8 8 5 7 5 2 7 2 4 8 9 1 2 2 7 9 3 8 1 8 3 0 1 1 9 4 9 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8 9 3 8 0 9 5 2 5 7 2 0 1 0 6 5 4 8 5 8 6 3 2 7 8 8 6 5 9 3 6 1 5 3 3 8 1 8 2 7 9 6 8 2 3 0 3 0 1 9 5 2 0 3 5 3 0 1 8 5 2 9 6 8 9 9 5 7 7 3 6 2 2 5 9 9 4 1 3 8 9 1 2 4 9 7 2 1 7 7 5 2 8 3 4 7 9 1 3 1 5 1 5 5 7 4 8 5 7 2 4 2 4 5 4 1 5 0 6 9 5 9 5 0 8 2 9 5 3 3 1 1 6 8 6 1 7 2 7 8 5 5 8 8 9 0 7 5 0 9 8 3 8 1 7 5 4 6 3 7 4 6 4 9 3 9 3 1 9 2 5 5 0 6 0 4 0 0 9 2 7 7 0 1 6 7 1 1 3 9 0 0 9 8 4 8 8 2 4 0 1 2 8 5 8 3 6 1 6 0 3 5 6 3 7 0 7 6 6 0 1 0 4 7 1 0 1 8 1 9 4 2 9 5 5 5 9 6 1 9 8 9 4 6 7 6 7 8 3 7 4 4 9 4 4 8 2 5 5 3 7 9 7 7 4 7 2 6 8 4 7 1 0 4 0 4 7 5 3 4 6 4 6 2 0 8 0 4 6 6 8 4 2 5 9 0 6 9 4 9 1 2 9 3 3 1 3 6 7 7 0 2 8 9 8 9 1 5 2 1 0 4 7 5 2 1 6 2 0 5 6 9 6 6 0 2 4 0 5 8 0 3 8 1 5 0 1 9 3 5 1 1 2 5 3 3 8 2 4 3 0 0 3 5 5 8 7 6 4 0 2 4 7 4 9 6 4 7 3 2 6 3 9 1 4 1 9 9 2 7 2 6 0 4 2 6 9 9 2 2 7 9 6 7 8 2 3 5 4 7 8 1 6 3 6 0 0 9 3 4 1 7 2 1 6 4 1 2 1 9 9 2 4 5 8 6 3 1 5 0 3 0 2 8 6 1 8 2 9 7 4 5 5 5 7 0 6 7 4 9 8 3 8 5 0 5 4 9 4 5 8 8 5 8 6 9 2 6 9 9 5 6 9 0 9 2 7 2 1 0 7 9 7 5 0 9 3 0 2 9 5 5 3 2 1 1 6 5 3 4 4 9 8 7 2 0 2 7 5 5 9 6 0 2 3 6 4 8 0 6 6 5 4 9 9 1 1 9 8 8 1 8 3 4 7 9 7 7 5 3 5 6 6 3 6 9 8 0 7 4 2 6 5 4 2 5 2 7 8 6 2 5 5 1 8 1 8 4 1 7 5 7 4 6 7 2 8 9 0 9 7 7 7 7 2 7 9 3 8 0 0 0 8 1 6 4 7 0 6 0 0 1 6 1 4 5 2 4 9 1 9 2 1 7 3 2 1 7 2 1 4 7 7 2 3 5 0 1 4 1 4 4 1 9 7 3 5 6 8 5 4 8 1 6 1 3 6 1 1 5 7 3 5 2 5 5 2 1 3 3 4 7 5 7 4 1 8 4 9 4 6 8 4 3 8 5 2 3 3 2 3 9 0 7 3 9 4 1 4 3 3 3 4 5 4 7 7 6 2 4 1 6 8 6 2 5 1 8 9 8 3 5 6 9 4 8 5 5 6 2 0 9 9 2 1 9 2 2 2 1 8 4 2 7 2 5 5 0 2 5 4 2 5 6 8 8 7 6 7 1 7 9 0 4 9 4 6 0 1 6 5 3 4 6 6 8 0 4 9 8 8 6 2 7 2 3 2 7 9 1 7 8 6 0 8 5 7 8 4 3 8 3 8 2 7 9 6 7 9 7 6 6 8 1 4 5 4 1 0 0 9 5 3 8 8 3 7 8 6 3 6 0 9 5 0 6 8 0 0 6 4 2 2 5 1 2 5 2 0 5 1 1 7 3 9 2 9 8 4 8 9 6 0 8 4 1 2 8 4 8 8 6 2 6 9 4 5 6 0 4 2 4 1 9 6 5 2 8 5 0 2 2 2 1 0 6 6 1 1 8 6 3 0 6 7 4 4 2 7 8 6 2 2 0 3 9 1 9 4 9 4 5 0 4 7 1 2 3 7 1 3 7 8 6 9 6 0 9 5 6 3 6 4 3 7 1 9 1 7 2 8 7 4 6 7 7 6 4 6 5 7 5 7 3 9 6 2 4 1 3 8 9 0 8 6 5 8 3 2 6 4 5 9 9 5 8 1 3 3 9 0 4 7 8 0 2 7 5 9 0 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